Cayley-Hamilton teorem

I lineær algebra, det Cayley-Hamilton-sætningen sikrer, at alle endomorfien af ​​et endeligt-dimensionalt vektorrum over ethvert organ annullerer sin egen karakteristiske polynomium.

I matrix vilkår, der betyder:

hvis A er en kvadratisk matrix af orden n og hvis

er dens karakteristiske polynomium, derefter til formelt at erstatte X ved matrix A i polynomiet, er resultatet nul matrix:

Den Cayley-Hamilton-sætning gælder også for kvadratiske matricer af koefficienter i enhver kommutativ ring.

En vigtig konsekvens af Cayley-Hamilton-sætning, at den minimale polynomium af en given matrix er en divisor af dets karakteristiske polynomium, og ikke kun det, den minimale polynomium har den samme irreducible faktorer karakteristiske polynomium.

Motivation

Denne sætning har to familier af brug:

  • Indstiller teoretiske resultater, for eksempel til at beregne det karakteristiske polynomium af et nilpotente endomorfien.
  • Tillader også magtfulde forenklinger i beregningen af ​​matricer. Den mindste polynomier fremgangsmåde er generelt billigere end gøres ved determinanter.

Vi fandt denne sætning bruges i artikler om polynomier endomorfismo, nilpotente endomorphisms, og mere generelt i den generelle teori om matricer.

Demonstration

Vi gennemførte demonstrationen på matricen. Vi definerer array. Vi ved, at

Vi kan fortolke medlemmer og faktorer såsom lighed som polynomier i X med koefficienter i ringen for kvadratiske matricer NxN med koefficienter i K og at lighed indebærer, at det er deleligt med venstre. Dette indebærer, at værdien derefter til højre for polynomiet at være nul. Denne værdi er kun, som slutter showet.

Se også polynomium endomorfien for en anden demonstration.

Eksempel

Overvej for eksempel den forælder

Det karakteristiske polynomium skrives

Den Cayley-Hamilton-sætning, at

og dette forhold kan derpå straks kontrolleres. Desuden Cayley-Hamilton beregner beføjelser en matrix enklere end modus direkte beregning. Tag den ovennævnte forhold

For eksempel, til at beregne en, kan vi skrive

og nåede

Vi kan også anvende den oprindelige polinomial forhold til teste inversibilidad af A og beregner dens inverse. Faktisk bare en magt faktor A, hvor det er muligt og

påviser, at et support omvendt

Forrige artikel Casapueblo
Næste artikel Cedric Lewis

Relaterede artikler