Euklidisk rum

Euklidisk rum er en slags geometrisk rum, hvor Euklids aksiomer for geometri er opfyldt. Den virkelige linje, flyet og de tre-dimensionelle euklidisk rum euklidiske geometri er særlige tilfælde af euklidiske rum af dimensioner 1, 2 og 3 henholdsvis. Det abstrakte begreb euklidisk rum generaliserer disse bygninger flere dimensioner. En euklidisk rum er en komplet vektorrum udstyret med et indre produkt.

Bruges udtrykket til at skelne euklidisk disse rum "buede" Rygning forbudt euklidiske geometrier og plads relativitetsteori af Einstein. For at understrege det faktum, at et euklidisk rum kan have n dimensioner, vi ofte taler om "n-dimensionalt euklidisk rum."

Introduktion

En euklidisk rum er kulisseskinne vektorrum over de reelle tal af finite dimension, hvor reglen er forbundet med den almindelige skalarproduktet. For hver ikke-negativt heltal n er n-dimensionale euklidiske rum repræsenteret af symbolet, og er det sæt af alle tupler sorteres

hvor hver er et reelt tal, sammen med afstanden mellem to punkter og funktion defineret ved formlen:

Denne funktion afstand er en generalisering af Pythagoras 'læresætning og euklidiske afstand opkald.

Strukturer på euklidisk rum

Euklidiske rum og deres egenskaber har været grundlag for at generere masser af matematiske begreber i relation til analytisk geometri, topologi, algebra og calculus. Selv om den euklidiske rum normalt indføres, for didaktiske grunde, såsom vektorrum, faktisk på det du kan definere mange flere strukturer. Euklidisk rum er et vektorrum plus et tilfælde af:

  • En Hilbert rum af finite dimension den almindelige skalar produkt.
  • En Banach rum af finite dimension med normen induceret af det indre produkt skala.
  • En komplet metrisk rum med afstanden induceret af den tidligere standard.
  • En topologisk rum, fremkaldt af den euklidiske metrik.
  • En Lie gruppe, med tilføjelsen drift.
  • En Lie algebra med vektoren produkt.

Den euklidiske rum som metrisk rum

Definition E er en metrisk rum, og er derfor også et topologisk rum; Det er prototypiske eksempel på en n-manifold, og er i virkeligheden en differentiable n-manifold. For n ≠ 4, enhver differentiabel n-manifold, der er homeomorphic til E er også diffeomorf til det. Den overraskende kendsgerning er, at dette er ikke tilfældet for n = 4, hvilket blev bevist ved Simon Donaldson i 1982; counterexamples kaldes eksotiske 4-rum.

Euklidisk rum og topologisk rum

Du kan fortælle en masse om topologi E. Et vigtigt resultat, Brouwer 's invarians af domæne, er, at enhver delmængde af E, der er homeomorphic til en åben delmængde af E er i sig selv åbne den. Som en umiddelbar konsekvens af dette er, at E er homeomorphic til E hvis m ≠ n - et resultat intuitivt "indlysende", der dog ikke er let at bevise.

Euklidisk rum som et vektorrum

Euklidisk n-rum kan også betragtes som en reel n-dimensionalt vektorrum, faktisk et Hilbertrum, naturligt. Prikproduktet, x = og y = er givet ved:

Forrige artikel En god tid
Næste artikel Ettore Bugatti