Fibonacci

I matematik, Fibonacci sekvensen er følgende uendelig sekvens af naturlige tal:

Rækkefølgen begynder med tallene 1 og 1, og fra disse, "hver valgperiode er summen af ​​de to foregående," er en gentagelse forhold, der definerer det.

Elementerne i denne sekvens kaldes Fibonacci tal. Denne sekvens blev beskrevet i Europa af Leonardo af Pisa, det trettende århundrede italienske matematiker kaldet Fibonacci også. Det har mange anvendelser i datalogi, matematik og spilteori. Det fremgår også i biologiske indstillinger, såsom i de grene af træer, i arrangementet af blade på stilken, i flora artiskok, lederne af broccoli romanesco og indretning af en kegle.

Historie

Succession blev beskrevet af Fibonacci som løsningen på et problem med at hæve kaniner: »En mand havde et par kaniner i et lukket område og ønskede at vide, hvor mange der kan spilles i et år efter den indledende par overvejer naturligvis har de en partner i en måned, og fra den anden du begynder at spille. "

Bemærk: tælle antallet af forskellige bogstaver i hver måned, kan du vide det samlede beløb for par der indtil denne måned.

Således Fibonacci introducerede sekvens i sin bog Liber Abaci, udgivet i 1202. Mange egenskaber af Fibonacci sekvensen blev opdaget af Edward Lucas, anses for at have indkaldt som det er kendt i dag.

Også Kepler beskrev Fibonacci numre og den skotske matematiker Robert Simson opdagede i 1753, at forholdet mellem to på hinanden følgende Fibonacci tal nærmer den gyldne relation fi n går mod uendelig; Hvad mere er, forholdet mellem to på hinanden følgende form af al arv appellantens af orden to tendens til den samme grænse. Denne serie havde popularitet i det tyvende århundrede, især i musik, hvor begge berømte komponister som Béla Bartok, Olivier Messiaen, bandet Tool og Delia Derbyshire brugt den til at skabe akkorder og nye strukturer for musikalske fraser.

Rekursiv definition

Fibonacci tal er defineret ved ligningen:

først fra to standarder:

Følgende numre opnået:

til

Denne måde at definere, ja betragtes algoritme er sædvanlige i diskret matematik.

Alternative repræsentationer

For at analysere Fibonacci sekvensen er ønskeligt at opnå andre måder at repræsentere det matematisk.

Frembringende funktion

En frembringende funktion for en sekvens er enhver funktion, der er en formel potensrække hvor hver koefficient er et element af sekvensen. Fibonacci tal har den frembringende funktion

Når denne funktion er udvidet i beføjelser koefficienterne viser sig at være Fibonacci sekvensen:

Eksplicit formel

Definitionen af ​​Fibonacci sekvensen er tilbagevendende; Det er nødvendigt at beregne flere tidligere vilkår til at beregne en bestemt periode. Du kan få en eksplicit formel for Fibonacci bemærke, at ligninger og definere en gentagelse forhold

med begyndelsesbetingelser

Det karakteristiske polynomium af rekursionsligning er, og dens rødder er

Således vil den eksplicitte formel for Fibonacci have form

Hvis man tager hensyn til de oprindelige betingelser, derefter konstanter og opfylder ovenstående ligning og hvornår, dvs. at tilfredsstille system af ligninger

Ved at løse dette system af ligninger opnås

Derfor kan hvert nummer i Fibonacci udtrykkes som

For yderligere at forenkle er nødvendigt at overveje det gyldne snit

således at ligningen reducerer til

Denne formel tilskrives Edouard Lucas, og er let påviselig ved matematisk induktion. Selvom Fibonacci sekvens består udelukkende af naturlige tal, dens eksplicitte formel indeholder det irrationelle tal. Faktisk vedrørende dette spørgsmål er det tæt.

Matrixform

En anden måde at få Fibonacci overvejer lineære ligningssystem

Dette system kan repræsenteres ved matricenotationen som

Vel vidende ay, ved at anvende den ovenstående formel opnås gange

Når her, vi bare nødt til at diagonalized matricen, hvilket vil lette driften af ​​empowerment, og derved opnå en eksplicit formel for sekvens, der ovenfor blev angivet.

og endnu mere

Disse ligheder kan bevises ved matematisk induktion.

Egenskaber af succession

Fibonacci tal i mange ansøgninger fra forskellige områder. For eksempel modeller for at hæve kaniner eller planter, ved at tælle antallet af bit strenge af længde ikke på hinanden følgende nuller og et utal af forskellige sammenhænge. I virkeligheden er der en handel publikation kaldet Fibonacci Quarterly dedikeret til studiet af Fibonacci sekvensen og relaterede emner. Det er en hyldest til hvor bredt Fibonacci tal i matematik og dens anvendelser på andre områder. Nogle af egenskaberne af denne sekvens er:

  • Årsagen eller kvotienten mellem et begreb og den umiddelbart forudgående varierer kontinuerligt, men stabiliserede sig i det gyldne snit. Det er:
  • Ethvert naturligt tal kan skrives som summen af ​​et begrænset antal vilkårene i Fibonacci-sekvens, hver forskellig fra de andre. For eksempel ,,.
  • Bare en periode på tre er endda, én ud af fire er et multiplum af 3, én ud af fem er et multiplum af 5, etc. Dette kan generaliseres, således at Fibonacci sekvensen er periodisk i kongruens modul til nogen.
  • Sekvensen kan udtrykkes ved andre eksplicitte formel kaldet form af Binet. Hvis og derefter
  • Hver Fibonacci tal er gennemsnittet af to positioner sigt før og udtrykket er en position, der er ude efter. Nemlig
  • Dette kan også udtrykkes således: beregne det næste nummer ét, da dette nummer er 2 gange mindre end nummer 2 position bag.
  • Summen af ​​det første tal er antallet i position minus én. Nemlig
  • Andre interessante identiteter omfatter følgende:















  • Den største fælles divisor af to Fibonacci tal er en anden Fibonacci nummer. Mere specifikt
  • Fibonacci tal vises, når du tilføjer diagonaler Pascals trekant. Det betyder, at enhver,
  • Hvis, som det er et primtal, så er det også et primtal, med én undtagelse; 3 er et primtal, men 4 er ikke.
  • Den uendelige sum af hensyn til sekvensen er præcis.
  • Summen af ​​ti på hinanden følgende Fibonacci tal er altid 11 gange den syvende udgave af serien.
  • Det sidste ciffer i hvert nummer hver 60 numre gentages periodisk. De to sidste, hver 300; Derfra er hvert nummer gentages.

Generalisering

Det grundlæggende begreb Fibonacci sekvensen er, at hvert element er summen af ​​de to foregående. I denne forstand arven kan udvide sættet af heltal, således at summen af ​​to på hinanden følgende tal umiddelbart følger. For at definere den negative indekser succession er ryddet ligning opnås, når

Hvis således ulige og hvis er endnu.

Sekvensen kan udvides til området for reelle tal, der den reelle del af den eksplicitte formel), når som helst reelt tal. Den resulterende funktion

Det har de samme egenskaber som Fibonacci sekvensen:

  • for ethvert reelt tal

En generaliseret Fibonacci-sekvens er en sekvens, hvor

Det vil sige, hvert element i en generaliseret Fibonacci-sekvens er summen af ​​de to foregående, men ikke nødvendigvis starter ved 0 og 1.

En række vigtige generaliseret Fibonacci, er dannet af beføjelser det gyldne snit.

Betydningen af ​​denne sekvens er, der kan udvides direkte til sæt af reelle tal.

... Og komplekser.

Et bemærkelsesværdigt træk er, at hvis Fibonacci sekvensen er en generaliseret, så

For eksempel kan ligningen generaliseres til

Dette betyder, at enhver beregning på en generaliseret Fibonacci sekvens kan udføres under anvendelse af Fibonacci tal.

Rækkefølge af Lucas

Et eksempel på generaliseret rækkefølge af Fibonacci er række af Lucas, beskrevet af ligningerne

  • til

Rækken af ​​Lucas har en stor lighed med Fibonacci og deler mange af dets egenskaber. Nogle interessante egenskaber omfatter:

  • Forholdet mellem en række Lucas og hans umiddelbare efterfølger nærmer det gyldne snit. Nemlig
  • Den eksplicitte formel for rækken af ​​Lucas er
  • Summen af ​​de første antal Lucas er tal, der er i stand mindst én. Nemlig
  • Enhver formel, der indeholder en række Lucas kan udtrykkes i form af Fibonacci tal ved ligestilling
  • Enhver formel, der indeholder en Fibonacci nummer kan udtrykkes i forhold til antallet af Lucas ved lighed

Beregning algoritmer

For at beregne den th element i Fibonacci-sekvens er flere algoritmer. Den samme definition kan anvendes som en, her udtrykt i pseudokode:

Brug analyseteknikker af algoritmer er muligt at vise, at, på trods af sin enkelhed, algoritmen 1 kræver, gør summer for at finde resultatet. Da hinanden vokser så hurtigt som, så algoritmen er af størrelsesordenen. Det vil sige, at denne algoritme er meget langsom. For eksempel, for at beregne denne algoritme kræver gør 20365011073 beløb.

For at undgå mange konti, er det almindeligt at bruge en lommeregner og bruge ligningen, men da det er en irrationel nummer, den eneste måde at anvende denne formel, der anvender en tilnærmelse og derved at opnå en omtrentlig, men forkert resultat. For eksempel, hvis der anvendes en 10-cifret regnemaskine, så ovenstående formel giver som resultat, selv hvis resultatet er korrekt. Denne fejl bliver stadig større, da det vokser.

En mere praktisk tilgang ville undgå beregne de samme beløb mere end én gang. Overvejer et par numre af Fibonacci sekvensen på hinanden følgende, det næste par succession er således en algoritme, som kun kræver overvejelse af to på hinanden følgende numre i Fibonacci sekvensen er synlig ved hvert skridt. Denne metode er den, der normalt ville bruge til at beregne en blyant og papir. Algoritmen udtrykkes i pseudokode som:

Denne version kræver kun additioner at beregne virkning, hvilket betyder, at denne metode er betydeligt hurtigere end algoritmen 1. For eksempel er algoritme 2 kun nødvendig for at gøre 50 beløb beregnes.

En endnu hurtigere algoritme er baseret på den følgende ligning. Brug af love eksponenter kan beregnes som

Således algoritmen af ​​type Divide and Conquer hvor gør kun kræve cirka matrix multiplikationer valuta. Det er imidlertid ikke nødvendigt at lagre fire værdier i hvert array da de hver har formen

Således er hver matrice helt repræsenteret ved værdierne, og pladsen kan beregnes som

Algoritmen er således som følger:

På trods af hvad kan synes besværligt, kan denne algoritme i høj grad reducere antallet af operationer, der er nødvendige for at beregne store Fibonacci tal. For eksempel for at beregne, i stedet for at gøre beløb 573.147.844.013.817.084.100 algoritme 1 eller 100 summer algoritme 2, er beregningen reduceret til kun 9 matrix multiplikationer.

Fibonacci-sekvens i naturen

Hanner af syder af bier har en stamtavle, der opfylder dette succession. Faktum er, at en drone, mandlig bi, ingen far, men har en mor, to bedstefædre, som er forældre til dronning tre bedsteforældre, som faderen til dronning har ingen far fem bedsteforældre otte trastatarabuelos og så videre, forudsat Fibonacci sekvensen.

For nylig, en matematisk-historisk kontekst om Leonardo af Pisa og nærhed af byen Bejaia, en stor eksportør af voks i den tid af Leonardo, har analyse foreslået, at biavlere var Bejaia og viden om herkomst Bier, der inspirerede Fibonacci numrene snarere end modellen for reproduktion af kaniner.

Cifre i Fibonacci-sekvens

En af kuriositeter i denne serie er de cifre af dens elementer:

  • Begynder den 1. ciffer og "slutter" i uendelig værdi af hver ciffer deles af 4, 5 eller 6 numre af serien. 6 er det kun i forbindelse med 1 ciffer.
  • Elementer i position n, N, N, ..., antallet af cifre stigninger i samme rækkefølge. Giver flere forskellige for hver n.

Delelighed

  • Lad n og m positive heltal. Hvis antallet n er deleligt med m derefter det n'te Fibonacci térmimo er deleligt med udgangen af ​​den samme sekvens mth. Faktisk 4 opdeler 12, så udtrykket af orden fire, fordelt 3-144, et udtryk af orden 12 i træk citat
  • Uanset heltal m, mellem den første Fibonacci tal være mindst én deleligt med m. Som et eksempel for m = 4, de bedste femten numre er 8 og 144, Fibonacci tal delbart med 4
  • Hvis k er en anden forbindelse nummer 4, så det k-te Fibonacci nummer er sammensat. I tilfælde 10, sammensat bortset 4, den tiende Fibonacci nummer 55, er sammensat.
  • De fortløbende Fibonacci tal er relativt prime
Forrige artikel Fozzie Bjørn
Næste artikel Fernando Gaviria