Zermelo-Fraenkel sæt teori

I logik og matematik, det Zermelo-Fraenkel formuleret af Ernst Zermelo og Abraham Fraenkel, er et system designet til at formulere aksiomatisk mængdelære. Normalt de forkortet som ZF eller dets mest almindelige form, suppleret med udvalgsaksiomet, som ZFC.

I løbet af det nittende århundrede, nogle matematikere forsøgt at gennemføre en proces med formalisering af matematik fra mængdelære. Gottlob Frege forsøgte at fuldføre denne proces ved at skabe et aksiomatisk teori om sæt. Desværre, i 1901 Bertrand Russell opdagede en selvmodsigelse, det såkaldte paradoks Russell. Derfor i begyndelsen af ​​det tyvende århundrede flere alternative forsøg blev gjort, og i dag ZFC er blevet standard aksiomatiske sæt teorier.

Introduktion

Mængdelære er en relativt moderne gren af ​​matematikken, hvis formål er at studere nogle enheder kaldet sæt, selv om en anden del af denne teori er anerkendt som grundlaget for matematik. Set teori blev udviklet af den tyske matematiker Georg Cantor i slutningen af ​​det nittende århundrede fra visse konstateringer af ham selv til at reflektere over nogle detaljer i den trigonometriske Fourierrækker. Set teori blev givet af Cantor i en række artikler og bøger, som kan fremhæves hans Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre.

Cantor formål var at tilvejebringe en metode til at håndtere spørgsmål vedrørende faktiske uendelighed, et begreb, der blev undgået og afvist af nogle matematikere overveje meningsløs. Cantor sikkert lykkedes, selv om hans teori bør præciseres og udsættes for et aksiomatisk system, et projekt, der senere blev udført hovedsageligt af Frege, Russell, Zermelo, Albert Skolem og Abraham Fraenkel.

Platonist Cantor forlod den overbevisning, at det var muligt at "komprimere" en samling eller et sæt af objekter, og betragtes som en helhed, og tilsyneladende implicit accepteret følgende forudsætninger:

Således Cantor var i stand til at udvikle sin teori på en måde, at på det tidspunkt syntes tilfredsstillende nok. Dog var Cantor system, så eftergivende, der førte til modstridende resultater. Gottlob Frege, der udtænkt et mere præcist system, forsøgte at korrekt underbygge teorien om sæt, men til hans forfærdelse, Bertrand Russell opdaget et paradoks i den teori, som syntes Frege systemet falde fra hinanden. I begyndelsen af ​​det tyvende århundrede var den tyske matematiker Ernst Zermelo der satte sat teori på et grundlag acceptabelt at reducere den til en mere begrænset aksiomatisk system, som ikke gjorde det muligt at opnå den Paradox af Russell. Zermelo ideer blev derefter præciseret af Thoralf Skolem og Abraham Fraenkel, hvilket resulterede i den første aksiomatisk mængdelære kendt som Zermelo-Fraenkel teori, selv om det ville være mere passende at kalde det teori Zermelo-Fraenkel-Skolem. Et andet sæt teori undgå paradokser Cantor teori blev udviklet efter primært af John von Neumann, Paul Bernays og Kurt Gödel. Sidstnævnte kaldes nu, naturligvis, teorien om von Neumann-Bernays-Gödel.

Begrebet fælles

Hele konceptet er sådan et grundlæggende niveau, der ikke er muligt at give en præcis definition af det. Ord som indsamling, samling, gruppering, og nogle andre af lignende betydning, der anvendes i et forsøg på at beskrive de sæt, men kan ikke udgøre en definition, de er simpelthen en erstatning af ordet indstillet. Men den intuitive mængdelære ovenfor kan realitetsbehandles, og eksistensen af ​​et univers eller accepteret domæne objekter, hvorfra sæt er bygget, samt sæt kan behandle som en helhed. Uden betydning er arten af ​​de genstande, men adfærd et sæt som et matematisk enhed.

Ud fra ovenstående, synes det naturligt at indføre en dyadic forhold tilhørsforhold. De almindelige symboler til at repræsentere dette forhold er et symbol, en version af det græske bogstav. Det andet argument for relationen kaldes sæt, og de første argumenter kaldes elementer. Hvis således formlen

er opfyldt, er det siges at være et element af sættet. Hvis vi accepterer, at alt er sat, så den første og anden argumenter hører til samme domæne.

Denial of skrive.

Under disse antagelser kan det udvikle et lille sæt teori. Men den intuitive begreb fælles ikke føre så langt som man kunne ønske, for der kommer et tidspunkt, hvor, som i andre områder inden for matematik, intuition er af ringe eller ingen hjælp. Det er tidspunkter som dette, når behovet viser sig axiomatizing og formaliseret mængdelære at nå dybere resultater. Dette indebærer at opgive en intuitiv sæt definition, og i stedet anvende en række principper, der bestemmer dens adfærd, således at resultaterne ikke skyldes svage intuitive ræsonnement, men er fremstillet af et sådant principper.

Behovet for at sætte teori axiomatizing

I Cantor teori, er det muligt at danne et sæt fra en bestemt ejendom skal opfylde dens elementer. Med andre ord givet nogen egenskab, der er en matrix, hvis elementer er netop de genstande, der kontrollere. I symboler, er dette sæt repræsenteret ved



For eksempel, i betragtning af den formel, er samlingen opnås



klart det indeholder alt. Dette sæt vil ikke blive anvendt nogen af ​​resultaterne af Cantor, da dette fører til nogle paradokser. Som et andet eksempel på modstridende sæt på grund af sin "store", er det det, der giver anledning til paradoks Russell. Overvej det sæt, hvis elementer er de sæt, der ikke tilhører dem selv. Det vil sige, den indstillede



Russells paradoks opstår spørgsmålet: er et element af sig selv? Hvis det er, det vil sige, hvis, så ikke opfylder betingelsen, som er en modsigelse. Hvis, så opfylder betingelsen for en del af det, og så igen en selvmodsigelse. Således kan det hverken være medlem af sig selv eller ej. I et forsøg på at eliminere dette paradoks, Russell og Whitehead udviklede teorien om typer, og præsenteres i en bog med titlen Principia Mathematica. Mens denne teori elimineret paradoks Russell, han var for kompliceret at have interesse. Set teori Zermelo meget enklere logisk niveau, kunne fjerne så Russells paradoks som alle de andre, der opstod i Cantor-systemet, og at af Frege.

Den Zermelo-Fraenkel

Sæt teori om Zermelo-Fraenkel tager så primitive begreber og af at høre sammen og består af følgende ti aksiomer:

1. Axiom extensionality. To sæt og er lige, hvis de indeholder de samme elementer. Mere formelt, og de sædvanlige symboler,

2. aksiom tom mængde. Der er et sæt med nogen elementer. Det vil sige,

3. Axiom par. Givet nogen fælles og, et andet organ, repræsenteret ved, hvis elementer er kun e. Det vil sige,

4. Axiom af union. Givet nogen samling af sæt, et sæt repræsenteret af og kaldte bonding, som indeholder alle elementerne i hvert sæt. Det vil sige,

5. Axiom Power Set For enhver sæt er der et andet sæt, repræsenteret ved indeholder alle undergrupper. Symboler,

Skema 6. aksiomatisk specifikation. Det er en formel for en første ordens sprog indeholder en fri variabel. Så for ethvert sæt er der et sæt, hvis elementer er de elementer, der mødes. Formelt

7. aksiom skema for erstatning. Hvis en sætning sådan, at for ethvert element af et helt sæt eksisterer, så er der en funktion f: x → y således at f = y. Formelt hvis

derefter

8. Axiom af uendelighed. Der er et sæt sådan, at og således at hvis, derefter. Symboler,

9. aksiom af regelmæssighed. For hver ikke-tom mængde eksisterer et sæt sådan, at. Det vil sige, formelt,

10. Motto af Zorn. Alle induktive sæt ikke er tom maksimal element

Zermelo oprindeligt forsøgte at bevise "Motto af Zorn" fra de andre ni aksiomer, men også lykkedes ikke så Gödels ufuldstændighed teoremer bevist, at Zorn s lemma var ikke bevises fra de resterende aksiomer . Han blev tilsat som tiende aksiom af teorien.

Det svarer til

Udvalgsaksiomet. Givet en familie af ikke-tomme sæt kan vi tage et element af hvert sæt. Dette aksiom kan udtrykkes ækvivalent til, givet nogen sæt X, der er en funktion f vælge et element fra hver ikke-tomme sæt x:

På aksiomer og nogle definitioner i ZF

Aksiom af extensionality

Aksiom af extensionality siger, at to sæt er ens hvis og kun hvis de har de samme elementer. Med andre ord, hedder det, at et sæt bestemmes af dens forlængelse. En mere generel sammenhæng, at ligestilling er integration, defineret som følger:

I modsætning lighedstegnet, er symbolet ikke vises på det sprog, første ordre, som ZF teorien er konstrueret, da definitionen ovenfor så skal indtastes som et aksiom, der etablerer beskæftigelse, hvilket ikke er Det er blevet gjort her. I stedet er symbolikken simpelthen bruges til at repræsentere formlen af ​​sproget i mængdelære.

I betragtning af den aksiom af extensionality og ovenstående definition, følger det, at det kan bevises, at to sæt og er lige, hvis det kan bevises, at e.

Aksiom af tomme sæt

Aksiom af tomme sæt giver os et sæt uden elementer. Dette aksiom præsenteres efter symbolet. Dette er berettiget, da aksiom af extensionality fortæller os, at dette sæt er unik.

Aksiom af tomme sæt kan udledes af en svagere aksiom, der bekræfter eksistensen af ​​et sæt, siger, og skema specifikation med formlen anvendt på dette sæt. Således er tomme mængde er mængden



udtrykket en forkert beskrivelse.

Aksiom af par

Aksiom af par, et aksiom af Zermelo-Fraenkel teori, at i betragtning af to sæt, og et andet organ, repræsenteret af, hvis elementer er kun e. Det vil sige,

Axiom par har, fra to sæt og mængden {}. Sættet kaldes drejningsmoment og rodet. Hvis aksiom par påføres et sæt, er parret {} opnået som enkelt element er naturligvis ,, og kan derfor repræsenteres som. Sidstnævnte gruppe kan blive fanget igen aksiom par, hvilket resulterer i sættet {{}}, hvilket sæt kan også anvende aksiom par, opnå sættet {{{}}} og så videre. Denne fælles byggeprocessen kan anvendes til kun udtrykkeligt givet sæt kendt ,, hvilket giver et uendeligt antal sæt


Aksiom af union

Hvis det er en samling af sæt, så unionen indeholder disse og kun de elementer i et sæt. Hvis et sæt med elementer, så er det almindeligt at skrive



til at repræsentere foreningen af ​​sættene. Det er let at se, at



så aksiom af Union og aksiom af par garanterer eksistensen af ​​alle fælles og sat for en kendsgerning, at der ikke kan udledes blot fra ordningen specifikation sammen med de andre aksiomer. I modsætning til den union, skæringspunktet mellem sæt er fradragsberettiget fra aksiom af par og skema specifikation. Faktisk som sættet er defineret ved



og derfor er der. Mere generelt er sættet defineret


Power Set Axiom

Aksiom af magt sæt giver os et sæt, der indeholder alle undergrupper af et sæt. Derfor. Eftersom uanset sæt, kan der anvendes skema specifikation for sættet



Hvis et andet sæt, på samme måde som alle er fremstillet som en delmængde. Derefter



så aksiom af par kan udledes magt sæt aksiom, skemaet specifikation og aksiom af union. Så ikke alle aksiomer af ZF er uafhængige.

Den aksiomatisk specifikation skema

Specifikationen ordningen er at blive begrænset eller svag udgave aksiom Frege. For sidstnævnte, var det muligt at have et sæt, hvis elementer opfylder en bestemt egenskab. Dette Frege garanteret også og resulterede i hans system paradokser såsom Russell, blandt andre. Desuden er ordningen specifikationen er i overensstemmelse med en doktrin om nedskæringer. Den lader få fra andre sæt, og hvis størrelse er mindre end dem, som er blevet opnået. Dette indebærer, at nødvendigvis regne med tidligere givne sæt. Derfor er det aldrig muligt at tænke med formlen som helhed ikke kan opnås blot ved sig selv. Russells paradoks opstår netop at antage, at meget store sæt kan fås gratis blot ved at angive, hvad deres elementer. Andre paradokser, der har at gøre med den store størrelse af samlingen, er udelukket fra ordningen ved ZF specifikation. Nu skemaet kvalifikator fordi det ikke er en enkelt aksiom, men det siger, at ethvert udtryk af formen



som er en formel af sproget i mængdelære er et aksiom af ZF. Så hvis vi betragter eksistensen af ​​et sæt som et aksiom, den tomme mængde aksiom også være et resultat af at anvende ordningen specifikation sammen med formlen.

Specifikationen skema i ZF er ikke uafhængige, da den følger udskiftning indført ved Fraenkel og Skolem samme år og uafhængigt.

Aksiom skema af erstatning

Aksiom skema for erstatning siger, at hvis et sæt og er en formel med to frie variabler og således at for hver der er en enestående sådan, at er sandt, så er der et sæt, således at hvis og kun hvis.

At vise, hvordan ordningen følger specifikationen udskiftning ordningen, anses det for formlen



hvor ethvert element af et sæt. Hvis så er der vist kun således, så hypotesen er sand udskiftning ordning, så der er en gruppe, således at



som er logisk svarer til et sæt, eksisterer sådan, at



Formuleringen har aksiom erstatning blev først introduceret af Fraenkel, og også optrådt i arbejdet i kirken. En svagere form af denne ordning synes aksiomatisk i arbejdet i Tarski. Den oprindelige formulering, givet af Fraenkel og Skolem, er væsentlige som følger:

  • For et sæt og enhver funktion defineret på, er der et sæt, således at for alle.

Udskiftningen ordning blev indført af Fraenkel og Skolem for at fordele magten ordningen specifikation og også aktivere ordinal tæller ud over at tillade aksiom af uendelighed numre.

Aksiom af uendelighed

Aksiom af uendelighed introduceret af Zermelo 1908 muliggør produktionen af ​​naturlige tal som sæt i ZF. Samlet set dette aksiom giver et uendeligt sæt ifølge Dedekind, det sikrer, at der findes et sæt, hvor der er mindst en injektiv og ikke Surjektiv. Det vil sige, at funktionen er således, og så intervallet er en delmængde af sit eget domæne. Men i så fald ansøgningen

afgivet, er bijective. Konklusionen er, at der er en bijection mellem og en af ​​dens rette delmængder. Nu er gruppen hvis eksistens garanterer aksiom af uendelighed, sandt:

Men du kan møde den samme delmængder. Hvis mængden af ​​alle delmængder induktive, ikke er tom, da. Således kan krydset dannes



af alle induktive sæt. Dette sæt er klart induktiv, og dens elementer er



samme, som kan betragtes som naturlige tal i ZF og kan kaldes. Det bemærkes, at på denne måde, et naturligt tal er et sæt, der indeholder alle naturlige tal over det. Sættet af naturlige tal er velordnede denne formular integration. Enhver fysisk antal formularen opfordrede til en efterfølger, og er repræsenteret af eller. Med denne definition kan testes Peano aksiomer, som i ZF disse bliver enkle sætninger:

  • Det indebærer.


Den måde, de præsenterede aksiom af uendelighed skyldes Fraenkel, og giver mulighed for opførelse af naturlige tal som ordenstal i den forstand, von Neumann. Det var på denne måde bruges af RM Robinsons Den thory af klasser, såvel som af Bernays.


Zermelo introducerede aksiom af uendelighed af væsentlige svarer til følgende:

  • Der er et sæt, således at


Så kan den indhente sæt af naturlige tal, hvis elementer er



Rækkefølgen etableret mellem disse elementer er integration.

Denne aksiom af uendelighed Zermelo ikke har fordelene af aksiom af uendelighed Fraenkel.

Aksiom af regelmæssighed eller fundament

Aksiom af regelmæssighed gives her skyldes Zermelo, mens von Neumann indbragt en dertil svarende, men mere kompliceret. Dette aksiom forbyder eksistensen af ​​bizarre, såsom joint sæt, der opfylder: x∈x; eller et par sæt med x∈y ∧ y∈x; samt eksistensen af ​​uendelige kæder efterkommere:

Der er teorier om sæt, hvor det aksiom er udelukket. Teorien om, at ved tilsætning af en kontrast til aksiom af regelmæssighed er kendt som ikke velbegrundet teori om sæt.

Udvalgsaksiomet

I modsætning til de aksiomer af ZF, at udvalgsaksiomet er et aksiom ikke konstruktiv i den forstand, at det bestemmer et unikt sæt fra dine oplysninger. Som det kan ses, mangler det indlysende, at karakteriserer alle andre aksiomer. Dette førte nogle matematikere til at forsøge at bevise udvalgsaksiomet fra de andre aksiomer, noget i det, de alle mislykkedes. Disse forgæves forsøg på at bevise udvalgsaksiomet efter en stor indsats, og visse særlige forhold i det samme, nogle matematikere og tænkte om den mulige uafhængighed udvalgsaksiomet med hensyn til de aksiomer af ZF, men vidste ikke i hvilken retning testen var det. Gödel bevist, at udvalgsaksiomet var i overensstemmelse med de aksiomer af ZF, som kunne anvendes sammen med dem uden frygt for at få modsætninger.

Den udvalgsaksiomet blev introduceret af Russell i 1906 på en måde væsentlige svarer til følgende:

  • For hver ikke-tom sæt af disjunkte sæt, således at det kartesiske produkt ikke er tom.

Russell kaldte dette princip multiplikativ aksiom. Den udvalgsaksiomet navn blev givet af Zermelo til mere generelt end Russell princip:

  • For alle ikke-tom mængde, således at der findes en funktion, hvis argumenter er elementer sådan, at.

Axiom navn skyldes det faktum, at funktionen vælger et element af hvert element.

Zermelo introducerede udvalgsaksiomet at bevise vel bestilling sætning, hvori det hedder, at hvert sæt kan godt bestilles. Han viste også, at mottoet for Kuratowski-Zorn udledes af udvalgsaksiomet. Faktisk udvalgsaksiomet svarer til både det godt bestilling sætning som motto Kuratowski-Zorn. Følgende lister nogle principper tilsvarende i ZF den udvalgsaksiomet:

  • Well-bestilling teorem.
  • Kuratowski-Zorn Lemma.
  • Tredeling af kardinaler.
  • Hausdorff maksimal princip.
  • Motto Teichmüler-Tukey.

Wacław Sierpinski i 1947 bevist, at kontinuumhypotesen indebærer udvalgsaksiomet, selvom det omvendte er ikke tilfældet. Et andet princip, som indebærer udvalgsaksiomet er aksiom Tarski sætter utilgængelige.

Den aksiomatisk system ZFC understøtter demonstrationer modsigelse som en måde at bevise teoremer. Givet et sæt er tilstrækkeligt for os at nå en modstrid med resten af ​​teorien naturligvis efter dets eksistens at vise, at der er ikke sådan gruppe. Et typisk eksempel er fraværet af det sæt af alle sæt.

Hvis der er dette sæt V vi kan definere det hele, hvilket uundgåeligt fører til paradoks Russell, så V er ikke et sæt.

Samme procedure vil vi ikke påvise konjugat givet sæt et sæt, da der ville være så deres fagforening, ved aksiom for union, og dette ville være lig med V.

Andre egenskaber af ZFC

Kurt Gödel bevist, at den logiske konsekvens af de aksiomer af ZFC er ubevislige. På de fleste de kan bevise udsagn ud, hvis ZFC er konsistent, derefter "T" er det også, dvs den relative konsistens. Med hensyn til fuldstændighed, Gödel selv i sine ufuldstændighed teoremer viste, at hvis et aksiomatisk system er stærk nok til at bygge en rekursiv aritmetik, kan et sådant system ikke være komplet og konsistent.

Forrige artikel Zavadil Bohumil
Næste artikel ZooBichos